Matemática discreta Ejemplos

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

Paso 4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

Paso 5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

Paso 6

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

Paso 7

Reescribe $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{2} + x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + x = e^{2}$

Paso 8.2

Resta $e^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

Paso 8.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.4

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 1$ y $c = - e^{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 8.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Paso 8.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Paso 9

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ sea verdadera.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Forma decimal:

$x = 1.68830545 \dots$